หลักการ Traverse Adjustment ด้วย Least Squares ปรับวงรอบให้แม่นยำ
การปรับแก้วงรอบ (Traverse Adjustment) ด้วยวิธี Least Squares Adjustment (LSA) คือกระบวนการกระจายค่าความคลาดเคลื่อน (Misclosure) อย่างเหมาะสมที่สุดทางสถิติ แทนการใช้กฎเชิงประจักษ์อย่าง Compass Rule หรือ Transit Rule บทความนี้อธิบายทฤษฎี โมเดลทางคณิตศาสตร์ และเกณฑ์ตรวจสอบผลตามแนวทาง FGCS (Federal Geodetic Control Subcommittee) และ ISO 17123-3 สำหรับการรังวัดมุมและระยะด้วย Total Station
- หลักการพื้นฐานของ Least Squares
- LSA ตั้งอยู่บนหลัก "ผลรวมของน้ำหนักคูณกำลังสองของค่าตกค้าง (residuals) ต้องน้อยที่สุด" เขียนเป็นสมการได้ว่า Σ(w·v²) = min โดย v คือค่าตกค้างของแต่ละการวัด และ w คือน้ำหนัก ค่า w แปรผกผันกับความแปรปรวน (variance) ของการวัดนั้น w = 1/σ² หากวัดมุมด้วย Total Station ความละเอียด 1″ จะมี σ น้อยและน้ำหนักสูง การวัดระยะด้วย EDM มาตรฐาน ±(2 mm + 2 ppm) ก็คำนวณ σ ตามระยะจริงในแต่ละขา
Procedure: รวบรวมการวัดทั้งหมด → กำหนด weight matrix (P) → สร้าง design matrix (A) → คำนวณ normal equation N = AᵀPA → แก้สมการหาเวกเตอร์ค่าแก้ x = (AᵀPA)⁻¹ AᵀPL
Tolerance: ค่า reference variance หลังปรับแก้ (σ̂₀²) ควรใกล้ 1 หากสูงกว่า 1.5 แสดงว่าค่า weight ประเมินต่ำเกินจริง หรือมี Blunder ปะปน
ข้อควรระวัง: ห้ามใส่ค่าน้ำหนักเท่ากันทุกการวัด เพราะระยะสั้นกับระยะยาวมีความแม่นยำต่างกัน
2. โมเดลทางคณิตศาสตร์: Observation Equation
สำหรับวงรอบที่มีพิกัดเริ่มต้นแน่นอน ใช้ Parametric Adjustment สมการสำหรับมุมราบ (Horizontal Angle) ที่จุด B เล็งไป A และ C เขียนได้ว่า αₐ_BC = atan2(Yc−Yb, Xc−Xb) − atan2(Ya−Yb, Xa−Xb) + vα สำหรับระยะ d_BC = √((Xc−Xb)² + (Yc−Yb)²) + vd ทั้งสองสมการเป็นแบบไม่เชิงเส้น (non-linear) ต้อง Linearize ด้วย Taylor Expansion รอบค่าประมาณเริ่มต้น แล้ววนรอบ (iterate) จนค่าแก้ลดต่ำกว่าเกณฑ์ที่กำหนด ปกติใช้ 0.001 m และ 0.1″
Tolerance: จำนวน iteration ที่เหมาะสมคือ 3-5 รอบ หากเกิน 10 รอบยังไม่ converge มักเกิดจากค่าประมาณเริ่มต้นไม่ดี หรือมี configuration เสียรูป
ข้อควรระวัง: เลือกระบบพิกัดและทิศทางมุม (Azimuth Convention) ให้สม่ำเสมอตลอดวงรอบ
3. การประเมินคุณภาพ: A-Posteriori Variance และ Chi-Square Test
หลังคำนวณค่าแก้แล้ว ต้องประเมินคุณภาพด้วย σ̂₀² = (vᵀPv)/(n−u) โดย n คือจำนวนการวัด u คือจำนวน unknown และ (n−u) คือ degree of freedom จากนั้นทำ Chi-Square Test ที่ระดับนัยสำคัญ 95% หาก χ² ที่คำนวณได้ตกอยู่ในช่วง [χ²_(α/2), χ²_(1−α/2)] ถือว่าโมเดลและค่าน้ำหนักเหมาะสม
Spec: FGCS กำหนด Second-Order Class II Traverse ต้องมี Angular Misclosure ≤ 8″√N และ Linear Misclosure ≤ 1:50,000 ส่วน Third-Order Class I ใช้ 10″√N และ 1:10,000 เมื่อ N คือจำนวนสถานี
ข้อควรระวัง: ค่า σ̂₀² ที่ต่ำผิดปกติ (เช่น 0.3) ไม่ได้แปลว่างานดี แต่มักเกิดจาก over-estimate ค่า σ ของการวัด
4. การตรวจหา Blunder ด้วย Tau-Test และ Standardized Residual
ทุกการวัดควรคำนวณ standardized residual w_i = v_i / σ_v_i หากค่า |w_i| > tau-critical (ราว 3.5 สำหรับงาน Geodetic) ให้สงสัยว่ามี Blunder ที่จุดนั้น จากนั้นทำ Data Snooping ของ Baarda โดยตัดการวัดที่สงสัยออกแล้วปรับใหม่ เปรียบเทียบ σ̂₀² ก่อน-หลัง
Procedure: ระบุค่า outlier → ตรวจสนามจริง → วัดซ้ำเฉพาะ leg ที่มีปัญหา → ปรับแก้ใหม่
ข้อควรระวัง: ห้ามตัดข้อมูลออกหลายตัวพร้อมกันในรอบเดียว เพราะอาจซ่อน Blunder ตัวอื่น ให้ทำทีละจุด
5. การตรวจสอบเครื่องมือก่อนงาน Traverse แม่นยำ
ก่อนทำ Control Survey ที่ต้องการ LSA ต้องตรวจสอบ Total Station ตาม ISO 17123-3 (Theodolite Field Procedure) และ ISO 17123-4 (EDM Field Procedure) คือ ทำ Two-Face Measurement ทุกสถานี ตรวจ Horizontal Collimation Error และ Vertical Index Error ทุก 6 เดือนหรือทุกครั้งหลังกระแทก สอบเทียบ EDM กับ Baseline มาตรฐานปีละ 1 ครั้งตามแนวทาง USACE EM 1110-1-1004
Spec: ค่า 2C (twice collimation) หลังตรวจสอบไม่ควรเกิน 2 เท่าของ Angular Accuracy ของกล้อง เช่น กล้อง 2″ ค่า 2C ≤ 4″
ข้อควรระวัง: หากตรวจพบ Collimation Error เกินเกณฑ์ ห้ามแก้เองในสนาม ต้องส่งสอบเทียบที่ห้องปฏิบัติการตาม ISO/IEC 17025
